Sí, puedes congelar el queso parmesano. Incluso sin congelar, el parmesano es muy duradero ya que el bajo contenido de agua y el alto contenido de sal evita el crecimiento de moho. Las variedades más jóvenes pueden ser más propensas a la formación de moho (con un mayor contenido de agua), pero he mantenido el parmesano maduro (30-36 meses) durante al menos un año en la nevera sin problemas (y probablemente habría permanecido bueno mucho más tiempo). Sólo recuerde que debe mantenerlo envuelto en papel, no en un recipiente de plástico sellado para evitar la acumulación de condensación.
No voy a añadir mucho ya que la respuesta de Tor-Einar Jarnbjo fue muy completa, pero sólo para señalar que también puedes congelar las cortezas de parmesano para añadirlas a las sopas y guisos para un fácil impulso umami.